folgt: 6.4 REYNOLDS-Mittelung der Grundgleichungen hinauf: 6. Turbulenz in stabil vorher: 6.2 Interne Wellen


6.3 Instabilität

Eine stabile Dichteschichtung behindert den laminar-turbulenten Umschlag. Hier werden nur kurz die Erkenntnisse über die Stabilität der freien Scherschicht und der Wandgrenzschicht mitgeteilt.

Eine freie Scherschicht bildet sich dort, wo zwei Ströme mit unterschiedlicher Geschwindigkeit in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung fließen. Aus der ORR-SOMMERFELD-Gleichung [111] läßt sich unter Vernachlässigung der Viskosität das Wendepunktskriterium ableiten. Es besagt, dass Geschwindigkeitsprofile mit einem Wendepunkt zur Anfachung von Störungen, also Instabilitäten, führen. Freie Scherschichten besitzen nun genau solch einen Wendepunkt. Diese Instabilität wird auch KEVIN-HELMHOLTZ-Instabilität genannt [135]. Die Wellenlänge der am meisten angefachten Störungen beträgt laut [135] das ca. 7,5 fache der Scherschichtdicke, d.h., sehr scharfe Übergänge führen auch zu sehr kleinen Störungen. Die stabilisierende Wirkung der Dichteschichtung ist nun in der Lage, das Anwachsen von Störungen völlig zu unterbinden, wenn die Gradient-RICHARDSON-Zahl
\begin{displaymath}
Ri_{g}=\frac{-g}{\rho }
\frac{
\frac{\partial \rho }{\partial z}
}{
\left( \frac{\partial v } {\partial z} \right) ^{2}
}
\end{displaymath} (6.9)

mit
\(z\) Koordinate entgegen der Fallbeschleunigung


größer als 1/4 \(Ri_{g}\)>0,25 ist [28].

Die Instabilität von Wandgrenzschichten tritt auch im ungeschichteten Fall nur infolge von Viskosität auf [111]. Daher muss bei den Stabilitätsüberlegungen zur Wandgrenzschicht immer auch die REYNOLDS-Zahl mit betrachtet werden. STREHLE [126] berechnet die Stabilität laminarer Wandgrenzschichten in Anwesenheit von Dichteschichtungen6.3 analytisch. Als Resultat gibt er an, wie sich die kritische REYNOLDS-Zahl der Wandgrenzschicht in Abhängigkeit von der bulk-RICHARDSON-Zahl,
\begin{displaymath}
Ri_{b}=\frac{g \cdot \beta \cdot \delta \cdot \left( T_{\infty}-T_{w} \right)}
{ v_{\infty}^{2} }
\end{displaymath} (6.10)

mit
\(\beta\) Volumenausdehnungskoeffizient,
\(\delta\) Grenzschichtdicke,
\(T_{\infty}\) Temperatur der Aussenströmung,
\(T_{w}\) Temperatur an der Wand und
\(v_{\infty}\) Geschwindigkeit der Aussenströmung,


(die er ARCHIMEDES-Zahl nennt) vergößert. Demnach hat sich bei \(Ri_{b}\)=0,06 die kritische REYNOLDS-Zahl der Wandgrenzschicht vervierfacht. Bei SCHLICHTING [111] findet sich die Angabe, dass Wandgrenzschichten mit Gradient-RICHARDSON-Zahlen \(Ri_{g}>0,0417\) bedingungslos stabil sind. Zu dem Unterschied sei angeführt, dass STREHLE und SCHLICHTING unterschiedliche Dichteverteilungen in der laminaren Grenzschicht ansetzen. Die von SCHLICHTING zur Stützung seiner Theorie angegebenen Messungen falsifizieren demnach die Theorie von STREHLE in keinster Weise. Es gilt zu berücksichtigen, dass Stabilitätsberechnungen immer nur Aussagen über das Anwachsen oder Abklingen von infenitesimal kleinen Störungen in Bezug auf das konkret untersuchte Geschwindigkeits- und Dichteprofil machen. Die in Abschnitt 6.8 noch zu besprechenden Messungen zeigen, dass turbulente Wandgrenzschichten, die auch in ihrem weiteren Verlauf turbulent bleiben, Bereiche aufweisen können, in denen die Gradient-RICHARDSON-Zahl den Wert von 0,0417 deutlich überschreitet.


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Jens WYRWA * 2003-11-05