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7.1 Grundgleichungen

Das k-\(\epsilon\)-Modell ist das am weitesten verbreitete 2-Gleichungs-Turbulenzmodell [89]. In diesem Abschnitt werden daher lediglich die Differentialgleichungen, aus denen das Modell besteht, angegeben. Hier wird diejenige Formulierung für dichtegeschichtete Fluide benutzt, die auch WINTERWERP [142] verwendet:
\begin{displaymath}
\underbrace{
\frac{\partial k}{\partial t}
}_{1}
+
\underbr...
...c{\nu_{t}}{Sc_{t}}
\frac{\partial \rho }{\partial x_{i}}
}_{6}
\end{displaymath} (7.1)


\begin{displaymath}
\underbrace{
\frac{\partial \epsilon}{\partial t}
}_{1}
+
\...
...c{\nu_{t}}{Sc_{t}}
\frac{\partial \rho }{\partial x_{i}}
}_{6}
\end{displaymath} (7.2)

mit
P Produktion von k, im Weiteren näher beschrieben,
\(\sigma_{k}\), \(\sigma_{\epsilon}\), \(c_{\epsilon 1}\), \(c_{\epsilon 2}\) Modellkonstanten, siehe Abschnitt 9.3.5 und
\(Sc_{t}\) turbulente SCHMIDT-Zahl, siehe Gl. (2.10),
  ebenfalls Modellkonstante.


Die Terme 1 bis 6 stellen dar:
1 lokale Änderung,
2 Konvektion,
3 Produktion,
4 Diffusion,
5 Dissipation und
6 Buoyancy.


In stabil dichtegeschichteten Fluiden ist der Wert \(c_{\epsilon 3}\)=1 zutreffend [104], [142]. Damit entfällt der Buoyancy-Term in der \(\epsilon\)-Gleichung (Term 6 in Gl. (7.2)).

Zur Schließung der in Gl.(6.11) auftretenden REYNOLDS-Spannungen wird beim k-\(\epsilon\)-Modell bekanntlich [104] der folgende BOUSSINESQ-Ansatz7.1 vorgenommen:
\begin{displaymath}
-\overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime} }=
\nu_{t} \left(\...
...c{\partial v_j}{\partial x_i}\right)
-\frac{2}{3}k\delta_{ij}
\end{displaymath} (7.3)

wobei sich die Wirbelviskosität \(\nu_{t}\) wie folgt berechnet:
\begin{displaymath}
\nu_{t}=c_{\mu} \frac{k^2}{\epsilon}
\end{displaymath} (7.4)

mit
\(c_{\mu}\) Modellkonstante, siehe Abschnitt 9.3.5.


Wird dieser Ansatz in den Produktionsterm (Term 3) von Gl. (6.15) eingesetzt, ergibt sich für die Produktion:
\begin{displaymath}
P=\nu_{t} \left(
\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \fr...
...{\partial x_{i}}
\right) \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}
\end{displaymath} (7.5)

Dies ist der Ansatz des Standard-k-\(\epsilon\)-Modells für die Produktion. Auf die Problematik dieses Ansatzes wird in Abschnitt 7.2 näher eingegangen. Dort ist auch der modifizierte Ansatz nach KATO und LAUNDER [57], den das Programm ,,casu`` verwendet, beschrieben.

Auf der Basis des k-\(\epsilon\)-Modells lassen sich die folgenden charakteristischen Größen der Turbulenz berechnen:

Die turbulente Geschwindigkeit [89]
\begin{displaymath}
v_t=\sqrt{2k} \qquad \mbox{,}
\end{displaymath} (7.6)



die Makrolänge der Turbulenz [143], siehe auch Gl. (6.24),
\begin{displaymath}
L_{t}=\frac{k^{3/2}}{\epsilon} \cdot c_{\mu}
\end{displaymath} (7.7)



und der Turbulenzgrad [110]:
\begin{displaymath}
Tu=\frac{\sqrt{ \frac{2}{3} k}}{\overline{v}}
\end{displaymath} (7.8)

mit
\(\overline{v}\) Betrag der mittleren Geschwindigkeit.


Aus den obigen Größen lassen sich die folgenden ableiten:

Die turbulente Zeitskala
\begin{displaymath}
t_{t}=\frac{L_{t}}{v_t}=\frac{k}{\epsilon} \cdot \frac{c_{\mu}}{\sqrt{2} }
\end{displaymath} (7.9)



und die turbulente REYNOLDS-Zahl, siehe Gl. (6.23),
\begin{displaymath}
Re_{t}=
\frac{L_{t} \cdot v_t}{\nu}=
\frac{\nu_t}{\nu} \cdot \sqrt{2} \qquad \mbox{.}
\end{displaymath} (7.10)



Bezüglich der funktionalen Abhängigkeit der obigen Größen von k und \(\epsilon\) herrscht Einigkeit. In Hinsicht auf die verwendeten Konstanten finden sich unterschiedliche Formulierungen in der Literatur [38], [51] und [143].
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Jens WYRWA * 2003-11-05