9.3.2 Oscillating-Grid-Tank

folgt: 9.3.3 Logarithmisches Wandgesetz hinauf: 9.3 Turbulenzmodell vorher: 9.3.1 Abklingende isotrope Turbulenz

9.3.2 Oscillating-Grid-Tank

Wird in einem Fluid eine Quelle isotroper Turbulenz angeordnet, die dem Fluid keine mittlere Bewegung aufprägt, dann stellt sich im Fluid nach einiger Zeit ein stationärer Zustand ein, bei dem sich die Diffusion und die Dissipation der Turbulenz die Waage halten. Die an einer Stelle im Raum in einer gewissen Entfernung von der Quelle durch Dissipation vernichtete turbulente kinetische Energie k muss vorher durch die turbulente Diffusion der Turbulenz zu dieser Stelle hin transportiert worden sein. Ein oszillierendes Gitter, das den Querschnitt eines zylindrischen Tanks vollständig ausfüllt, stellt eine experimentelle Näherung an diese Situation dar.

Das k- $\epsilon$ -Modell Gln. (7.1) und (7.2) reduziert sich in diesem Fall wie folgt:

$\begin{displaymath} 0=\frac{\partial}{\partial z} \cdot \left( \frac{c_{\mu} \c... ...ilon } \cdot \frac{\partial k}{\partial z} \right) -\epsilon \end{displaymath}$

(9.14)

$\begin{displaymath} 0=\frac{\partial}{\partial z} \cdot \left( \frac{c_{\mu} \cd... ...n}{\partial z} \right) -c_{\epsilon 2} \frac{\epsilon^{2}}{k} \end{displaymath}$

(9.15)

mit

$z$	Koordinate des Abstands von der Turbulenzquelle,
$k$	kinetische Energie der Turbulenz,
$\epsilon$	Dissopationsrate und
$c_{\mu}$ , $\sigma_{k}$ , $\sigma_{\epsilon}$ , $c_{\epsilon 2}$	Modellkonstanten.

Die Gln. (9.14) und (9.15) lassen sich mit Hilfe des folgenden Ansatzes lösen [122]:

$\begin{displaymath} \frac{k}{k_0}=\left( \frac{z}{z_0} \right)^n \end{displaymath}$

(9.16)

$\begin{displaymath} \frac{\epsilon}{\epsilon_0}=\left( \frac{z}{z_0} \right)^m \end{displaymath}$

(9.17)

mit

$z_0$	Ort des Berechnungsbeginns,
$k_0$	k an der Stelle $z_0$ ,
$\epsilon_0$	$\epsilon$ an der Stelle $z_0$ und
$n ,m$	reele Exponenten.

Durch Einsetzen in die Gln. (9.14) und (9.15) ergibt sich:

$\begin{displaymath} \frac{ c_{\epsilon 2} \cdot \sigma_{\epsilon} }{ \sigma_{k} ... ... \left( 2n-1 \right) \cdot \left( 3n-2 \right) } {3 \cdot n^2} \end{displaymath}$

(9.18)

$\begin{displaymath} m=\frac{3}{2} \cdot n -1 \end{displaymath}$

(9.19)

.

Wenn die Standardwerte für die empirischen Parameter ( $c_{\epsilon 2}=1,92$ , $\sigma_{\epsilon}=1,3$ und $\sigma_{k}=1,0$ ) verwendet werden, erhält man: n = -4,97 und m = -8,46.

In Bild 29 sind die berechneten Verläufe von k und $\epsilon$ den o.g. analytisch gewonnenen Vorhersagen gegenübergestellt. Mit zunehmend kleiner werdenden räumlichen Schrittweiten des Berechnungsnetzes nähert sich die numerische Lösung der Vorhersage immer genauer an. Die gute Übereinstimmung lässt auf die korrekte Realisierung der vertikalen Diffusion der Turbulenzgrößen schließen, weil die Dissipation bereits im Abschnitt 9.3.1 überprüft worden ist.

SONIN [122] stellt fest, dass die Experimente von [47] und [129] für den Exponenten n Werte von -2 und -3 nahelegen und weist darauf hin, dass dies nur erreichbar wäre, wenn der Wert für die Modellkonstante^9.6 $\sigma_{k}$ auf Werte von 0,74 und 0,87 abgesenkt würde. Um zu illustrieren, welche erheblichen Unterschiede sich daraus ergeben, ist der Verlauf von k in Bild 29 auch für den Exponent n = -2 aufgetragen.

In diesem Zusammenhang sei auch die Überlegung von LELE [66] mitgeteilt: Beim instationären Oszillating-Grid-Tank Experiment müssen an der Front der sich in das ruhende Fluid ausbreitenden Turbulenz alle Turbulenzgrößen die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit haben. Die daraus ableitbare Konsistenzbedingung ergibt für das k- $\epsilon$ -Modell die Forderung:

$\begin{displaymath} \frac{\sigma_{k}}{\sigma_{\epsilon}}=0,7692 \end{displaymath}$

(9.20)

.

Dieser Testfall hat die Kennung ,,oszi`` in der bereits angegebenen Quelle http://www.wyrwa.de/casu/test.

folgt: 9.3.3 Logarithmisches Wandgesetz hinauf: 9.3 Turbulenzmodell vorher: 9.3.1 Abklingende isotrope Turbulenz

Jens WYRWA * 2003-11-05