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9.2.6 Starrkörperrotation

Bei einer Starrkörperrotation, wie sie z. B. im Kernbereich eines RANKIN-Wirbels [119] auftritt, bewegen sich einzelne Fluidpartikel nicht relativ zueinander, sondern wie ein starrer Körper relativ zur Umgebung. Für den Fall, dass eine rotationssymmetrische Geometrie vorliegt sowie Wand- und Sohlreibung abgeschaltet sind, müsste eine solche Bewegung, nachdem sie als Anfangsbedingung vorgegeben wurde, zeitlich unbegrenzt weiterdrehen. In diesem Beispiel wird der radiale Druckgradient so gewählt, dass er gerade für die nötige Zentripetalbeschleunigung sorgt. D. h. in der numerischen Berechnung sind nur Konvektion und Wasserspiegelgefälle aktiv. Das Geschwindigkeitsfeld und der Wasserspiegel ergeben sich wie folgt:
\begin{displaymath} \begin{array}{l} v_{1}= - 2 \cdot \pi \cdot \omega \cdot x_{... ...2} \cdot \left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) \end{array}\end{displaymath} (9.7)

mit
\(v_{1} , v_{2}\) horizontale Komponenten des Geschwindigkeitsvektors,
\(x_{1} , x_{2}\) horizontale Komponenten des Ortsvektors,
\(z_{s}\) Wasserspiegellage,
\(z_{0}\) Wasserspiegellage an der Stelle \(x_{1}=0\), \(x_{2}=0\),
\(g \) Fallbeschleunigung und
\(\omega\) Kreisfrequenz der Starrkörperrotation


Im Bild 24a und b sind die Anfangsbedingungen für diesen Testfall visualisiert. Der diskretisierte Ringraum hat einen Innendurchmesser von 0,2 m und einen Aussendurchmesser von 0,6 m. Die Kreisfrequenz wurde so gewählt, dass sich das Fluid genau einmal in der Sekunde um seine eigene Achse dreht, d.h. \(\omega=1,0 s^{-1}\). Der Wasserstand wurde so gewählt, dass sich am Innendurchmesser gerade ein Wasserstand von 0,2 m ergibt, d.h., \(z_{0}=0.17987848\) m.

Im Bild 24c und d ist die Verteilung von \(v_{2}\) nach 3 s Rechenzeit zu sehen, also nachdem sich das Fluid drei Mal um die eigene Achse gedreht haben müsste. Deutlich erkennbar ist die starke numerisch bedingte Abnahme der Geschwindigkeit, die sich in den beiden verwendeten Netzen nahezu identisch ergibt.

In Bild 25 ist zum Zweck einer Parameterstudie der Verlauf von \(v_{2}\) am Knoten 252 im regelmäßigen Vierecksnetz, dessen Lage in Bild 24b erkennbar ist, aufgetragen. Es wird ersichtlich, dass der Effekt der Verlangsamung der Rotationsbewegung nur von der Zeitschrittweite dt abhängt. Die Feinheit bei der Stromlinienberechnung hat einen vernachlässigbar kleinen Einfluss. Auch eine Netzverfeinerung auf die halbe Gitterweite (Vierecksnetz) hat keinen erwähnenswerten Einfluss. Die numerische Berechnung bestätigt somit die in Kapitel 8 gemachte Vorhersage, dass mit zunehmender Stromlinienkrümmung je Zeitschritt ein immer größer werdender Impulsverlust auftritt.

Dieser Testfall hat die Kennung ,,rr`` für die Berechnungen mit dem regelmäßigen Netz und ,,ru`` für die Berechnungen mit dem unregelmäßigen Netz in der bereits angegebenen Quelle http://www.wyrwa.de/casu/test.
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Jens WYRWA * 2003-11-05