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9.2.7 Konvektiver Transport

Abschnitt 8.2.2 erläutert das Phänomen der numerischen Diffusivität. Diese Testrechnung ist durchgeführt worden, um Eigenschaft und Stärke der numerischen Diffusivität zu demonstrieren. In einem 400 m langen, geraden, rechteckigen und ebenen Kanal wird eine Strömung in Gang gesetzt, bis eine konstante Geschwindigkeit von 1,0 m/s erreicht ist. Die Berechnung wird zunächst fortgesetzt bis die Strömung stationär geworden ist. Dann wird am Einlauf von einem Zeitschritt auf den anderen der Wert einer zufließenden numerischen Konzentration^9.4 von Null auf Eins gesetzt. Die Diffusivität wird mit Null angesetzt. Als exakte Lösung wäre nun zu erwarten, dass dieser scharfe Konzentrationssprung von der mittleren Geschwindigkeit gleichmäßig durch das Gebiet konvektiert wird. Aber die in Bild 26 gezeigte numerische Lösung gibt ein anderes Bild wieder.

Bild 26a zeigt das Längsprofil der numerischen Konzentration für verschiedene COURANT-Zahlen Cr, siehe Gl. (8.3). Dabei ist der von CASULLI [22] bereits beschriebene Effekt zu sehen, dass die numerische Diffusivität mit größer werdender COURANT-Zahl abnimmt. Bei der COURANT-Zahl Cr=0,1 wird im Vergleich zur Berechnung mit Cr=2,5 ein um den Faktor 25 kleinerer Zeitschritt verwendet. Bei der Berechnung mit Cr=0,1 wird somit die 25-fache Anzahl an Zeitschritten verwendet. Dementsprechend mehr Interpolationen wurden ausgeführt, auf welche die in Bild 26a sichtbar höhere numerische Diffusivität zurückzuführen ist.

Die verschiedenen physikalischen Größen sind im Programm ,,casu`` an unterschiedlichen Stellen diskretisiert, siehe Bild 15. Die bei der ELM notwendige Bestimmung einer Feldgröße am Ursprung einer Bahnlinie erfordert eine Interpolation. Diese erste Interpolation wird im Programm ,,casu`` auf der Basis der Elemente durchgeführt, an deren Ecken sich Knoten befinden. Wie in Abschnitt 8.2.2 bereits erläutert, werden die Größen Geschwindigkeit und Turbulenz, die auf der Kantenmitte diskretisiert sind, zuerst am Knoten interpoliert. Diese zweite Interpolation erzeugt zusätzliche numerische Diffusion. Um deren Effekt herauszuarbeiten, wurde die Testrechnung, die im vorangegangenen Absatz für eine Konzentration beschrieben worden ist, mit einer Turbulenzgröße wiederholt. Dazu mussten im Quellcode vom Programm ,,casu`` die Terme Produktion, Dissipation, Diffusion und Buoyancy ausgeschaltet werden. Das Bild 26b vergleicht die Ergebnisse der Konzentrationsberechnung mit denen der Turbulenzgrößenberechnung. Es zeigt sich, dass die zweite Interpolation bei der Turbulenzgröße erheblich zur numerischen Diffusion beiträgt.

Es ist bei dieser Testrechnung folgender Sonderfall beobachtet worden, der nur in akademischen Testfällen auftritt: Wenn die COURANT-Zahl Cr im gesamten Gebiet ganzzahlig ist, dann verschwindet die numerische Diffusivität. Dies hängt damit zusammen, dass in diesem Sonderfall die numerische Konzentrationsverteilung in jedem Zeitschritt um eine ganzzahlige Menge von Netzebenen versetzt wird.

Dieser Testfall hat die Kennung ,,rinnkon`` in der bereits angegebenen Quelle http://www.wyrwa.de/casu/test.

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