Für den Fall abklingender isotroper Turbulenz lassen sich die
partiellen Differentialgleichungen, die das Turbulenzmodell ausmachen, auf die
Terme der zeitlichen Änderung und Dissipation reduzieren.
Beim k--Modell Gln. (7.1) und (7.2)
führt dies zu:
(9.8)
(9.9)
mit
Kinetische Energie der Turbulenz,
Dissipationsrate,
Zeit und
Modellkonstante.
Für dieses reduzierte Gleichungssystem lässt sich analytisch eine Lösung ermitteln
[104]:
(9.10)
(9.11)
(9.12)
mit
Anfangswert von k,
Anfangswert von und
Zeitmaß.
Experimentell entspricht dieser Fall einer gleichförmigen Strömung
hinter einem Gitter. Ein feines Gitter erzeugt nahezu isotrope Turbulenz.
Das Abklingen geschieht entlang der Strecke,
über welche die Turbulenz konvektiv transportiert wird.
Das Turbulenzfeld ist bei diesem Experiment räumlich nicht mehr völlig homogen.
Wenn die Geschwindigkeit der mittleren gleichförmigen Bewegung groß genug ist,
kann die Diffusion vernachlässigt werden [104].
Somit kann der Wert für die Modellkonstante
aus dem
Experiment ermittelt werden. Wie RODI [104] angibt, liegen die
experimentellen Befunde für
in einem Bereich zwischen
1,8 und 2,0. Im k--Modell wird mit einem Wert von 1,92 für
gerechnet.
In der 1996 veröffentlichten Untersuchung weisen MYDLARSKI und WAHRHAFT
[86] darauf hin, dass in den bis dato durchgeführten Experimenten
mit gittergenerierter Turbulenz die REYNOLDS-Zahlen zu klein waren, um wirklich
lokal-isotrope9.5 Turbulenz zu erhalten.
Für die datentechnische Erprobung ist der Fall insofern von Interesse, als
sich hieran der Dissipationsterm isoliert testen lässt.
Bild 27
zeigt die Abklingraten für verschieden Zeitschrittweiten.
Die zunehmend besser werdende Erfüllung der Vorhersage
gemäß Gln. (9.10) bis (9.12) bei zunehmend
kleiner werdenden Zeitschritten
entspricht den Erwartungen an den numerischen Näherungsalgorithmus
und belegt die korrekte datentechnische Realisierung.
In diesem Beispiel wurden die Startwerte für k und
der Einfachheit halber im ganzen Gebiet 1 gesetzt.
Bild 27
zeigt, dass sich bei einer Zeitschrittweite von 4.0 s
bereits deutliche Unterschiede zur analytischen Lösung ergeben.
Gemessen an der Tidedauer von ca. 12 Stunden ist dies relativ kurz.
Es lässt sich aus Gln. (9.10) bis (9.12) ableiten,
wie lange es dauert , bis sich die kinetische Energie der Turbulenz k
halbiert:
(9.13)
mit
Zeit nach der sich k halbiert hat und
Faktor basierend auf der Annahme
.
Hieran bestätigt sich der Effekt, der sich auch nach dem Umrühren in der Teetasse
beobachten lässt: Die Dissipation von Turbulenz ist ein relativ schneller Vorgang;
wenn keine kinetische Energie aus der mittleren Bewegung nachgeliefert wird,
verebbt die Turbulenz rasch und lediglich die mittlere Bewegung bleibt
übrig. Der Tee in der Tasse dreht sich gleichmäßig im Kreis,
kurz nachdem man den Löffel aus der Tasse gezogen hat.
Für die Berechnung im Ästuar ist also jeweils zu prüfen, inwieweit es
erforderlich ist,
die Dissipation der Turbulenz in ihrem zeitlich Verlauf zu erfassen.
Dieser Testfall hat die Kennung
,,iso``
in der bereits angegebenen Quelle
http://www.wyrwa.de/casu/test.
Darüber hinaus ist eine weitere Berechnung angefertigt worden, welche die
Kennung
,,isocon``
in der bereits angegebenen Quelle
http://www.wyrwa.de/casu/test trägt.
In dieser findet nicht wie bei ,,iso`` ein zeitliches
Abklingen der Turbulenz statt, sondern es werden die o. a. Experimente
numerisch nachgebildet, bei denen die Turbulenz entlang einer Strecke abklingt,
über die sie von einer gleichförmigen mittleren Strömung konvektiert wird.
In dem Testfall ,,isocon`` ist neben der Dissipation auch die Konvektion aktiv.
Warum die Überprüfung des Konvektionsterms nicht wie ursprünglich geplant anhand
der ebenen Scherschicht vorgenommen werden kann, wird in Abschnitt 9.3.4
diskutiert.
Bild 28
zeigt, dass bei entsprechend feiner Diskretisierung die
numerische Lösung gegen die analytische konvergiert.