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9.4.1 Abklingende isotrope Turbulenz

In dieser Testrechnung werden die Versuche von ITSWEIRE et al. [52] nachgebildet. Wie im Testfall ,,isocon`` in Abschnitt 9.3.1 wird hier das Abklingen isotroper Turbulenz beobachtet, die von einer gleichförmigen Strömung konvektiert wird. Die Abklingdauer ist proportional zu der von der mittleren Strömung zurückgelegten Strecke.

Für den Fall abklingender isotroper Turbulenz lassen sich die partiellen Diffenrentialgleichungen, die das k-\(\epsilon\)-Modell Gln. (7.1) und (7.2)ausmachen, auf die Terme der zeitlichen Änderung, Dissipation und Buoyancy reduzieren. Durch Differenzieren und Einsetzen kann man daraus folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Dissipationsrate \(\epsilon\) ableiten:
\begin{displaymath} \frac{\partial^2 \epsilon}{\partial t^2}= \frac{\left(2c_{\e... ...lon 2} \cdot \frac{c_{\mu}}{\sigma_t} \cdot N^2 \cdot \epsilon \end{displaymath} (9.28)

mit
\(\epsilon\) Dissipationsrate,
t Zeit,
\(c_{\epsilon 2}\),\(c_{\mu}\),\(\sigma_t\) Modellkonstanten und
N BRUNT-VÄISÄLÄ-Frequenz Gl. (6.8).


Die Anfangsbedingungen sind:
\(\epsilon\left(t=0 \right)=\epsilon_0\) und \( \frac{\partial \epsilon}{\partial t}\left(t=0 \right)= -c_{\epsilon 2} \cdot \frac{{\epsilon_0}^2}{k_0} \)
mit
\(\epsilon_0\) Dissipationsrate am Anfang des Abklingvorgangs und
\(k_0\) kinetische Energie der Turbulenz am Anfang des Abklingvorgangs.


Aus [52] wird der Versuch mit der BRUNT-VÄISÄLÄ-Frequenz, Gl. (6.8), N=0,97 1/s verwendet9.10. Der zufließende Dichtegradient beträgt 109 kg/\(m^4\). Die Zuflussgeschwindigkeit hat den Wert 0,25 m/s. Im numerischen Modell wird der gitternächste Messpunkt als Zuflussrand verwendet. An dieser Stelle weist die Turbulenz die Größen k=63,5 \(10^{-5}\) \(m^2\)/\(s^2\) und \(\epsilon\)=106,3 \(10^{-5}\) \(m^2\)/\(s^3\) auf. Damit ergibt sich die Wirbelviskosität \(\nu_t\)=3,41 \(10^{-5}\) \(m^2\)/s. Die turbulente Längenskala \(\l _t\), Gl.(7.7), beträgt 0,0151 m. Das diskretisierte Fluidvolumen ist 0,25 m tief, 0,40 m breit und 2,2 m lang.

Der Vergleich mit den Messwerten dient der Überprüfung von Stufe 1 (mathemathische Modellierung der physikalischen Vorgänge) in Abschnitt 9.1. Um auch Aussagen zu Stufe 2 (Näherungslösung dieser partiellen Differentialgleichungen) und Stufe 3 (datentechnische Realisierung) machen zu können, wird eine Vergleichslösung der partiellen Differentialgleichungen benötigt. In diesem Testfall ist dazu eine Vergleichsberechnung mit dem Programm ,,MapleV``9.11 durchgeführt worden. Mit einer Schrittweitenverfeinerung hat sich die Konvergenz der Ergebnisse nachprüfen lassen.

Bild 36 zeigt die Berechnungsergebnisse, die mit dem Programm ,,casu`` erzielt worden sind im Vergleich mit den o. a. Resultaten von ,,MapleV`` und den Messungen aus [52]. Zur Orientierung ist im Bild 36 die analytische Lösung des ungeschichteten Fluids (siehe Abschnitt 9.3.1) aufgetragen. Die Übereinstimmung mit den Resultaten von ,,MapleV`` lässt die gelungene datentechnische Realisierung des Buoyancy-Terms mit einem geeigneten numerischen Verfahren erkennen. Die weitgehende Übereinstimmung mit den Messwerten am Anfang des Abklingvorgangs ist dem Umstand zuzuschreiben, dass die Modellkonstante \(c_{\epsilon 2}\) des k-\(\epsilon\)-Modells so gewählt worden ist, dass das Abklingen isotroper Turbulenz damit erfasst werden kann [104]. Bevor aus den Differenzen zwischen Messung und Berechnung Schlüsse abgeleitet werden können, sind folgende Besonderheiten in Betracht zu ziehen: Im Experiment ist die mittlere Strömung nicht völlig konstant, sondern sie beschleunigt von 0,25 m/s auf 0,26 m/s zum Ende der Messstrecke hin. Dies lässt auf Wandreibungseinflüsse schließen. Die BRUNT-VÄISÄLÄ-Frequenz N und damit die Stärke der Schichtung nimmt im Experiment entlang der Messstrecke von 1,02 auf 0,91/s ab. In den Berechnungen ist sie als konstant angenommen worden. Zwischen den Geschwindigkeitsmessungen und der Angabe der Dissipationsrate liegt ein Auswertungsverfahren, das auf einer Isotropie-Annahme fußt.

Dieser Testfall hat die Kennung ,,isoconst`` in der bereits angegebenen Quelle http://www.wyrwa.de/casu/test.

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Jens WYRWA * 2003-11-05